Josephus(约瑟夫)环问题的数学方法,使用递推公式。

By | 03月09日
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无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到m-1的退出 ,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

并且从k开始报0。

序列1: 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1

序列2: 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1

序列3: k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,

序列4:0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x‘=(x+m)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n].

递推公式:

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推,不需要保存每个,程序也是异常简单:(注意编号是0 -- n-1)

public class JOSEPHUS_Deep {
   public static void main(String[] args) {
    int n, m, i, s=0; 
        m=5;n=6;
 
    for (i=2; i<=n/2; i++) {//因为是从两个人开始计算,所以i=2,而不是0
      s=(s+m)%i;
     }
     System.out.println("The winner is "+(s+1));
   }  
}

开始我看这段文字的时候都没怎么懂,可能是数学太差的原因吧!

后来我就一句一句来看,结合实例:0 1 2 3 4 5  m=5.

移除4过后,的状态变成了:5 0 1 2 3.     k=m%n=5

如下表

现在我们把他们的编号做一下转换:


 

k

k-5

k-4

k-3

k-2

X’

5

0

1

2

3

转换关系 :X’=(x+k)%n(此例中:n=6)

x

0

1

2

3

4

于是呢,n个人的问题就变成了n-1个人的问题。

递推公式:

  f[1]=0; //就是说如果只有一个人,那么最后的胜利者就是他,他的编号为0

  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1) //如果不止一个人,有i个人,那么就需要求出i-1个人的最后胜利的结果f[i-1],然后呢,利用递推公式x‘=(x+m)%n 就可以知道第i个的最后结果了。

例如:程序中有这样两句:s=0;s=(s+m)%i;

就是说:s=0表示只有一个人的结果。

计算第2个人的结果需要用到第1个人的结果

当i=2,m=5,得到s=1,表示2个人转圈的结果

当i=3,m=5,得到s=0,表示3个人转圈的结果。

最后,由于我们选择6个人转圈编号一般习惯为1 2 3 4 5 6 ,并不是0 1 2 3 4 5 6

所以输出结果需要s+1。

我现在想不懂的是,怎么来确定第i个人的出列编号……它列出是的最后的人!

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

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